在三角形ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角。(1)求最大角的余弦值

出处:游戏玩家inone    更新日期:2019-01-19
在三角形ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角。(1)求最大角的余弦值(2)求以此最大角为内角,夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积 设三边为n-1,n,n+1 最大角为θ
cosθ=[(n-1)^2+n^2-(n+1)^2]/2(n-1)*n
cosθ=(n-4)/2(n-1)
90<θ<180
-1<cosθ<0
-1<(n-4)/2(n-1)<0
解得:2<n<4
n=3
所以:
cosθ=-1/4
因为cosα=-1/4,所以sinα=√15/4
ab<=(a+b)^2/4=4
所以S=2*1/2*ab*√15/4<=√15

(1)设三角形ABC的a,b,c的长度分别为n+1,n,n-1,由正弦定理可知大角对大边,所以最大角对着长度为n+1的边a,最大角为∠A。 由余弦定理可知cosA=[(n-1)^2+n^2-(n+1)^2]/[2(n-1)n]。因为∠A>90°,故cosA<0 即(n-1)^2+n^2-(n+1)^2<0,解得0<n<4。又因为n为正整数,故n=1,2或3 当n=1时,n-1=0,无法构成三角形。 当n=2时,三边长度为1,2,3,无法构成三角形。 当n=3时,三边长度为2,3,4,可构成钝角三角形。 即此钝角三角形三边为2,3,4,最大角的余弦值为cosA=(2^2+3^2-4^2)/(2*2*3)=-1/4 (2)已知平行四边形两边a,b和夹角A,此平行四边形的面积S为a*b*sinA 因为此夹角的余弦为-1/4,则正弦为√(1-(-1/4)^2)=(√15)/4 故S=a*b*(√15)/4 因为a+b=4为常数,由不等式[√(ab)]≤(a+b)/2可知,a*b的最大值为4 故S=4*(√15)/4=√15 即平行四边形的最大面积为√15

(1)设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1(n∈N*且n>1),∵(n-1)+n>n+1,∴n>2,得n是大于3的整数∵△ABC是钝角三角形,可得∠C为钝角,有cosC<0,由余弦定理得:(n+1)2=(n-1)2+n2-2n(n-1)?cosC>(n-1)2+n2,即(n-1)2+n2<(n+1)2?n2-4n<0?0<n<4,因此,整数n的值为3,可得△ABC三边长分别为2,3,4.∵cosC=a2+b2-c22ab=4+9-162×2×3=-14∴最大角的余弦值为-14(2)由(1)得,最大角C的正弦为sinC=1-cos2C=154,设夹角C的平行四边形两边分别为m、n,∵m+n=4,∴mn≤(m+n2)2=4,当且仅当m=n=2时,mn的最大值为4因此,平行四边形的面积S=mnsinC=154mn≤154×4=15∴当平行四边形两边都等于2时,夹角C的平行四边形面积最大值为15.

最大角为钝角,可知俩较短边平方和小于最大边(余弦定理),解不等式有两组2,4,6;4,6,8,前一组不满足两边之和大于第三边。故,三角形边长为4,6,8

解:1)设△ABC的三边分别为:n-1,n,n+1. ( 由余弦定理得: cosα=[(n-1)^2+n^2-(n+1)^2]/2n(n-1). (0<α<π--钝角) =[(n-1)^2-(n+1)^2+n^2]/2n(n-1). =[(n-1+n+1)(n-1-n-1)+n^2]/2n(n-1). =(n^2-4n)/2n(n-1). ∴cosα=(n-4)/2(n-1).cosα<0,(2<n<4).

设中间边长为a(a不小于2),最小边a-1最大边a+1三角形中由大边对大角和余弦定理cos@=[(a-1)^2++a^2-(a+1)^2]/[2a(a-1)]=1/2-3/[2(a-1)]余弦值越小角越大a=3时@=arccos(-1/4)

 已知△ABC为钝角三角形,且三边长为连续的正整数,则其最大内角的余弦值为______.: 设三边为a,a+1,a+2(a>0,a∈N*),最大内角为α,则cosα=a2+(a+1)2−(a+...
已知△ABC的三边长为三个连续的正整数,且最大角为钝角,则最长边长为______ : 设△ABC的三边a,b及c分别为n-1,n,n+1(n≥2,n∈Z),∵△ABC是钝角三角形,不妨设...
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